【応用】中2数学 一次関数と等積変形
今回は，中2数学の等積変形を
例題を通して解説します。
等積変形が登場するのは，
大体，中2生の2学期後半かなあ。
三角形の合同証明の学習後あたりです。
等積変形って入試レベルでは
けっこう必須スキルなんですが
教科書ではサラッと学ぶ程度で
終わっちゃうんですよね。
というわけで，
一次関数と等積変形を混ぜて
基本からやっていきます。
中3生の高校入試レベル入門にも
オススメ☆
問題①，②にチャレンジだ☆
簡単な例題を制作しました。
ぜひチャレンジしてみてください。
問題①と②があります。
どちらからでも解けます。
どちらも等積変形を使って解けるよ。
問題②は等積変形は使わなくても
あっさり解けるよ。
答えはすぐ下にあります。
答えは，
① ８
② -12，12
重要なのは，答えじゃない。
解き方だよ。
むしろ，
答えなんてどうでもいいぞ。
簡単に解けた方は，
他の応用問題集でも
解いてくれい。
等積変形とは
中2後半で出てくる，
等積変形。
これは，図形の面積そのまま，
変形することだ。
主な使い方としては，
平行線を使ったものだ。
みんなも，図形の問題で
補助線を引くでしょ。
平行線って便利だよね。
三角形の場合，平行線を使えば，
図のように，
底辺と高さを維持したまま
変形ができるのです。
等積変形は，
図形の問題だけでなく，
グラフ問題ととても相性が良い。
入試レベルでは必須スキルになる。
ぜひ身に付けておきたい☆
問題①のヒントと解説
問題①の答えは８だ。
点Ｐのｘ座標は８なのだよ。
ここでは，
等積変形のヒントと解説を
出していく。
まずは補助線をひく。
点Ａと点Ｂを通る直線だ。
このとき，四角形ＡＯＢＣは
△ＡＯＢと△ＡＢＣに分けられる。
今回，等積変形するのは，
△ＡＢＣだよ。
補助線2本目をひく。
点Ｃを通るような平行線だ。
これから，△ＡＢＣを
面積そのまま，変形させていく。
等積変形をしてみよう
等積変形のイメージは
こんな感じ。
△ＡＢＣで，
点Ｃをｘ軸まで移動。
そうすれば，
点Ｃがｘ軸に交わったところが
点Ｐになれるよ。
図のように，
点Ｃをｘ軸まで移動すれば
四角形ＡＯＢＣ＝△ＡＯＰ
になる。
問題①の解説
あとは，
点Ｐのｘ座標を求めよう。
点Ｐを求めるには，
青い平行線の式を求めればよい。
2本あるけど，
平行線だからどちらも傾きは同じ。
左の平行線は，
Ａ(２，４)，Ｂ(６，０)を
通るから，
ｙ＝ａｘ＋ｂにそれぞれ代入して
連立方程式で求めてもいいし，
ｘの増加量やｙの増加量で
傾き求めるのもいいよね。
傾きはー1と出てくる。
点Ｐは右の平行線にある。
傾きー1で，Ｃ(５，３)を通るので
ｙ＝－ｘ＋ｂに代入すればＯＫ。
ｙ＝ーｘ＋８と出てくる。
後は，ｙ＝０を代入すれば
Ｐ(８，０)とわかる。
点Ｐのｘ座標は８だ。
問題②のヒントと解説
問題②のこたえは，-12，12だ。
実は，問題②は
等積変形なんて
高級なものは使わず
簡単に解ける。
そもそも，
△ＡＯＢの面積は12だ。
求めたい△ＡＯＱは
(底辺ＯＱ)×(点Ａのｘ座標)÷２
で求まる。
よって，Ｑのｙ座標は
-12か12だ。
これでおしまい☆
せっかくだから，
次は等積変形を使って
解いてみようか。
等積変形を使って解く
ここからは，
無理やり等積変形を使って
解く方法を紹介するよ。
グラフや図を
ちょっと縮小したよ！
まずは，原点と点Ａを通る
補助線をひく。
早速，傾きを求めてしまおう。
Ａ(２，４)を通るから
傾きは２だ。
傾き２の平行線を
もう一本ひこう。
点Ｂを通るようにする。
今から，
△ＡＯＢを等積変形していく。
△ＡＯＢの等積変形
等積変形のイメージは
こんな感じだ。
何か，
微妙に原点Ｏが動いてる！
見づらくて申し訳ない。
この等積変形で
△ＡＯＢ＝△ＡＯＱになる。
点Ｑの座標は何だろうか。
点Ｑの座標を求める解説
点Qの座標を求めていこう。
点Ｑを通る直線は，傾き２で
Ｂ(６，０)を通る。
式は，ｙ＝2ｘ-12と出てくる。
点Ｑは切片だよね。
よって，点Ｑのｙ座標はー12。
忘れちゃいけないのがもう1個。
点Ｑは反対側にもある。
要は，原点から12だけ
離れていればＯＫ。
もう1個の点Ｑのｙ座標は12。
答えは，-12，12。
おわりに
今回は，
等積変形について
例題を通して解説しました。
今回のように，
等積変形はグラフと
とても相性が良いです。
中2の後半からの
数学の実力テストに
注文してみてください。
おそらく，等積変形を使った
問題が多いはず☆
この機会にぜひ身に付けてみてね！