【一次関数の利用】動点Ｐと面積の変化

一次関数の利用で出てくる，

動点Ｐの問題です。

これ，嫌いな人が多いんじゃないかと。

実力テストとかでもよく出るし。

今回は，例題を出して解説してみます。

画像を動かして視覚的に学べるよ☆

それでは，はじまりーはじまり～

動く点Ｐと面積変化の問題

次の問題にチャレンジしてみようね。

答えは下に用意してあるよ！

まずは考えて見てね。

【ヒント】点Ｐは何ｃｍ動くのか。

この問題って，

点Ｐが動くんだけども。

問題には，

画像が1枚あるだけだから，

あとは頭のイメージで解く必要が

あります。

ムズカシー！

そこで，まずは

点Ｐってどう動くのか。

動く画像にしてみたよ。

こんな感じ。

点Ｐは最大２２ｃｍ移動する。

点Ｐって，最終的には点Ｄに

到着する。

点Ａから点Ｄまでは，

22秒かかる。

移動距離は22ｃｍだ。

この２２ｃｍが重要だ☆

もう一度。

点Ａから点Ｄまで行くのに，

22秒かかって。

２２ｃｍ移動するよ！

Ｕの字みたいに移動するね。

答えはこちら

答えはこちらです。

丸付けしてみてね。

解説はこちら

ここからは，解説です。

まずは，①から順にやっていこうね。

問①　辺ＡＢ上の動き

辺ＡＢ上では，

面積ｙはどんどん増えていく。

点Ｐは毎秒１ｃｍで進む。

辺ＡＤの６ｃｍを底辺とすると，

高さは辺ＡＰだ。

その高さが時間とともに

増えていく。

高さＡＰは，

点Ｐの移動距離，つまり

ｘｃｍだ。

面積は三角形だから，

２で割るのを忘れずに。

そのときのｘの変域は，

辺ＡＢの長さ分だね。

辺ＢＣ上の動き

これは問題にはなかったけど

やっておこう。

ｘの変域が８≦ｘ≦１４

のところでは

面積ｙは常に２４ｃｍ^２だ

三角形の形は変わるけど

底辺と高さが変わらないからね。

問②　辺ＣＤ上の動き

これが厄介なのかなと。

動きはこんな感じだ。

面積ｙは徐々に減っていき，

点Ｐが点Ｄに到着すると

面積は０になる。

三角形の底辺を辺ＡＤ

とすると，

高さは辺ＤＰだ。

これがなかなか曲者。

でも，

ここで，ヒントにあった，

点Ｐの最大移動距離

２２ｃｍを使うよ。

わかる人はＯＫ。

わからん人はヒントまで戻ってね。

点Ｐは，点Ａから出発して

点Ｄまでに最大２２ｃｍを

移動するのだ。

Ｕの字みたいに移動するの。

その２２ｃｍから，

点Ｐがこれまで進んできた距離である

ｘｃｍをひき算すれば

高さＤＰの長さが出せる。

Ｕの字２２ｃｍ　ー　ｘｃｍ

だね。

そのときのｘの変域は

１４≦ｘ≦２２だ。

これも間違えやすいから注意だ。

問③　ｙとｘの関係をグラフにする

たぶん，一次関数は

中2の2学期中間テスト範囲だ。

一次関数の利用までは

テスト範囲に入らない場合，

2年2学期期末テストにこっそり

入ってくる。

いずれにしても，

学校の中間・期末テストでは

このグラフ問題までが

セットで出題の可能性が高い。

特に，授業で学んだ場合は

出やすいだろう。

実力テストとかだと，

グラフを書かせるところまでは

あんまり出ない印象。

どんなグラフになるかの４択問題は

あるかもね。

さて，解説にいこう。

といっても・・・

これまでの直線の式を

グラフにするだけである。

まずは辺ＡＢ上のグラフ。

続いて，

辺ＢＣ上。

８≦ｘ≦１４で

ｙ＝２４だね。

最後は辺ＣＤ上だ。

１４≦ｘ≦２２の

範囲なんだけども。

最後は面積０になるので

ｘ＝２２のとき，ｙ＝０

の点を取って線でつなごう。

実は，この辺ＣＤ上のグラフの作図

で気付いてほしいことがある。

簡単な式の求め方がある。

【別解】辺ＣＤ上の動き

点Ｐが辺ＣＤ上を動くときが

なかなか厄介だ。

でも実は，

点Ｐの動きをしっかり

見なくても解ける。

辺ＣＤ上の2点を

見るだけでＯＫなのだ。

それは，辺ＣＤ上の

最初と最後の2点だ。

まずは辺ＣＤ上の最初。

点Ｐが点Ｃ上に重なるとき。

このときの座標は

（１４，２４）だ。

次に，最後の2点目。

点Ｐが点Ｄと重なるときだ。

22秒後，面積ｙ＝０になる。

座標は（２２，０）だ。

よって，

辺ＣＤ上の式というのは，

次のように言い換えられる。

2点（１４，２４）（２２，０）

を通る直線の式。

変域は１４≦ｘ≦２２だ。

グラフも，この2点を

結ぶ線でＯＫだ。

【発展】点Ｐが毎秒２ｃｍで動いたら。

応用例題を１つ出します。

答えは，ご自身で出してみてください。

数字1個しか変えてないけど，

それだけでちょっぴり難しくなる。

答えがわかった生徒さん，

答えを知りたい生徒さん，

公式ラインから連絡してね。

以上，

動く点Ｐと面積の変化の

問題特集でした！