【応用】中2数学　一次関数と等積変形

今回は，中2数学の等積変形を

例題を通して解説します。

等積変形が登場するのは，

大体，中2生の2学期後半かなあ。

三角形の合同証明の学習後あたりです。

等積変形って入試レベルでは

けっこう必須スキルなんですが

教科書ではサラッと学ぶ程度で

終わっちゃうんですよね。

というわけで，

一次関数と等積変形を混ぜて

基本からやっていきます。

中3生の高校入試レベル入門にも

オススメ☆

問題①，②にチャレンジだ☆

簡単な例題を制作しました。

ぜひチャレンジしてみてください。

問題①と②があります。

どちらからでも解けます。

どちらも等積変形を使って解けるよ。

問題②は等積変形は使わなくても

あっさり解けるよ。

答えはすぐ下にあります。

答えは，

①　８

②　-12，12

重要なのは，答えじゃない。

解き方だよ。

むしろ，

答えなんてどうでもいいぞ。

簡単に解けた方は，

他の応用問題集でも

解いてくれい。

等積変形とは

中2後半で出てくる，

等積変形。

これは，図形の面積そのまま，

変形することだ。

主な使い方としては，

平行線を使ったものだ。

みんなも，図形の問題で

補助線を引くでしょ。

平行線って便利だよね。

三角形の場合，平行線を使えば，

図のように，

底辺と高さを維持したまま

変形ができるのです。

等積変形は，

図形の問題だけでなく，

グラフ問題ととても相性が良い。

入試レベルでは必須スキルになる。

ぜひ身に付けておきたい☆

問題①のヒントと解説

問題①の答えは８だ。

点Ｐのｘ座標は８なのだよ。

ここでは，

等積変形のヒントと解説を

出していく。

まずは補助線をひく。

点Ａと点Ｂを通る直線だ。

このとき，四角形ＡＯＢＣは

△ＡＯＢと△ＡＢＣに分けられる。

今回，等積変形するのは，

△ＡＢＣだよ。

補助線2本目をひく。

点Ｃを通るような平行線だ。

これから，△ＡＢＣを

面積そのまま，変形させていく。

等積変形をしてみよう

等積変形のイメージは

こんな感じ。

△ＡＢＣで，

点Ｃをｘ軸まで移動。

そうすれば，

点Ｃがｘ軸に交わったところが

点Ｐになれるよ。

図のように，

点Ｃをｘ軸まで移動すれば

四角形ＡＯＢＣ＝△ＡＯＰ

になる。

問題①の解説

あとは，

点Ｐのｘ座標を求めよう。

点Ｐを求めるには，

青い平行線の式を求めればよい。

2本あるけど，

平行線だからどちらも傾きは同じ。

左の平行線は，

Ａ(２，４)，Ｂ(６，０)を

通るから，

ｙ＝ａｘ＋ｂにそれぞれ代入して

連立方程式で求めてもいいし，

ｘの増加量やｙの増加量で

傾き求めるのもいいよね。

傾きはー1と出てくる。

点Ｐは右の平行線にある。

傾きー1で，Ｃ(５，３)を通るので

ｙ＝－ｘ＋ｂに代入すればＯＫ。

ｙ＝ーｘ＋８と出てくる。

後は，ｙ＝０を代入すれば

Ｐ(８，０)とわかる。

点Ｐのｘ座標は８だ。

問題②のヒントと解説

問題②のこたえは，-12，12だ。

実は，問題②は

等積変形なんて

高級なものは使わず

簡単に解ける。

そもそも，

△ＡＯＢの面積は12だ。

求めたい△ＡＯＱは

(底辺ＯＱ)×(点Ａのｘ座標)÷２

で求まる。

よって，Ｑのｙ座標は

-12か12だ。

これでおしまい☆

せっかくだから，

次は等積変形を使って

解いてみようか。

等積変形を使って解く

ここからは，

無理やり等積変形を使って

解く方法を紹介するよ。

グラフや図を

ちょっと縮小したよ！

まずは，原点と点Ａを通る

補助線をひく。

早速，傾きを求めてしまおう。

Ａ(２，４)を通るから

傾きは２だ。

傾き２の平行線を

もう一本ひこう。

点Ｂを通るようにする。

今から，

△ＡＯＢを等積変形していく。

△ＡＯＢの等積変形

等積変形のイメージは

こんな感じだ。

何か，

微妙に原点Ｏが動いてる！

見づらくて申し訳ない。

この等積変形で

△ＡＯＢ＝△ＡＯＱになる。

点Ｑの座標は何だろうか。

点Ｑの座標を求める解説

点Qの座標を求めていこう。

点Ｑを通る直線は，傾き２で

Ｂ(６，０)を通る。

式は，ｙ＝2ｘ-12と出てくる。

点Ｑは切片だよね。

よって，点Ｑのｙ座標はー12。

忘れちゃいけないのがもう1個。

点Ｑは反対側にもある。

要は，原点から12だけ

離れていればＯＫ。

もう1個の点Ｑのｙ座標は12。

答えは，-12，12。

おわりに

今回は，

等積変形について

例題を通して解説しました。

今回のように，

等積変形はグラフと

とても相性が良いです。

中2の後半からの

数学の実力テストに

注文してみてください。

おそらく，等積変形を使った

問題が多いはず☆

この機会にぜひ身に付けてみてね！