【中学受験】小5算数　平面図形と比

今回は，中学受験向けの

小5算数，平面図形と比です。

保護者の方は，

ぜひお子さんと一緒に

チャレンジしてみてください。

問題は1問だけですが，

解き方は3通り用意しました。

最後の３つ目の解き方には，

難問を解くのに必須レベルの

応用テクニックが入っています。

今回のテーマとしては，

お子さんの考え方を止めない，です。

お子さんの，

こうやって解いちゃダメなの？

に対して，

大人は応えるべきじゃないかと。

解説に載ってないから

違うんじゃない？

そんな大人の事情，

お子さんにとっては理不尽かも。

お子さんの応用力を伸ばしたいなら

お子さんの主体的な取り組みを

最後まで付き合ってあげて。

保護者さまはお子さんと

最後まで一緒に悩んであげて，

その結末を

きちんとお子さんに見せてほしい。

頑張ったけど解けなかった…

まぁこれも１つの結末だ。

悩んだあげく，謎が深まったとしても

悩み抜いた経験自体は粘り強さを生む。

結末を得る前にあきらめると，

お子さんはもう，次の

チャレンジをしなくなるだろう。

あきらめる方が手っ取り速いからだ。

今回，私も

できるだけ付き合ってみます。

画面の外の

お子さんがどう考えるかは

わかりませんけども。

それではいってみよー！

基本例題　平面図形と比

次の問題に

チャレンジしてみてください。

事前知識として，

比の計算ができること，

相似な図形で長さが求められること，

が必要です。

＼まぁ，中学受験組ならＯＫ☆／

答えは下をスクロールすれば

出てきます。

まずは自分で考えてみよう！

ヒントも下にあるよ！

一般的な解き方のヒント①

解説でよく見るのは

次のような解き方です。

塾に通う，中学受験組の

お子さんなら，

こうやって解くのが一般的。

補助線を使って，延長する。

次に色付きの三角形に注目する。

ほとんどのお子さんが

こうやって解くのではと。

私もそれでいいと思う。

あとは，点Ｈを作って。

ＢＨの長さを求める。

次に，この色付き三角形の相似に

注目する。

このあとは，すぐに

ＦＧ：ＧＣを求められるだろう。

答えは

ＦＧ：ＧＣ＝１：２

です。

解けたかな？

２つめの考え方のヒント

ここからは，

応用力をぐんぐん伸ばします。

解けたら，はい終わり！

これはこれで悪くないのですが，

どうしても

これだと見方・考え方は

育ちにくい。

じっくり考えることが

苦手になって，

応用力は育たず。

パパっと解ける計算だけは得意！

直感だけはするどい！

そういうお子さんが完成だ☆

＼計算だけで合格できる学校なら悪くない！／

さて，冗談はさておき。

次のように解く方法もあります。

ここからどうやって考えるか，

お子さんとチャレンジしてみてください。

この解き方が好きなお子さんもいるはず。

緑色の補助線を使って解きます。

２つ目の解き方のヒント②

緑色の補助線をひくと，

２つの三角形ができる。

次に，ＦＨの長さを求める。

ＦＨが求められたら，

次はこの２つの三角形に注目する。

相似な三角形だ。

あとは，簡単に

ＦＧ:ＧＣが求められると思う。

こちらも１：２と出てくる。

くわしい解説は

下スクロールすれば

たくさん書いてあります。

こたえと解説

ここからは，

求め方をきちんと

書いていきます。

１つ目の解き方，考え方

まずは，補助線をひきましょう。

補助線が苦手な場合は，

ここを伸ばしたらどうなるかな？

ココに線を足したらどう見えるかな？

あれこれ試して失敗しまくることだ！

最初は的外れでセンスの欠片も

ないかもしれない。

でも誰でも最初はそんな感じ。

経験数　＝　失敗数だ。

たくさん試してみてね！

そのうち，自分なりのコツが

つかめるようになると思う。

というか，一定レベルの

コツがつかめるまでやり続けよう。

補助線をひいたら，

次の２つの三角形に注目する。

相似な三角形だ。

これらの２つの三角形の

長さの比は４：１だ。

次に，ＢＨの長さを調べる。

長さの比は４：１だから，

２ｃｍと出てくる。

つまり，ＣＨは１０ｃｍだ。

次に，こちらの２つの

三角形に注目する。

これらも相似な三角形だ。

対応している辺の長さから

ＦＧ：ＧＣ＝１：２と

出てくる。

２つ目の解き方，解説

次は，こちらの解き方を

図解します。

まずは補助線をひきます。

次に，２つの色付き三角形に

注目する。

相似な三角形だ。

次に，ＦＨの長さを調べる。

そのために，２つの三角形を

取り出してみる。

２つの三角形は相似で，

その長さの比は８：５だ。

ＦＨの長さは，

ＡＥ＝４ｃｍと対応している。

長さの比の８：５から，

ＦＨの長さを求める。

次に，図に戻って。

色付きの三角形に注目する。

こちらも相似な三角形だ。

対応している辺の長さから，

１：２とわかる。

ＦＧ：ＧＣも１：２だ。

【応用編】３つめの解き方

最後に，3つ目の解き方を

紹介します。

こちらは，無理してやる必要はない。

偏差値60超えの中学受験ならば

今のうちに知っておいて損はない。

そんな上級テクニックを入れています。

ですから，

向上心のあるお子さん向け。

または，

こうやって解こうとしたけど，

混乱した。でも解きたい。

チャレンジャーなお子さん向け。

＼そういうお子さんが伸びるゾ☆／

それではいってみよー！

こうやったらダメなの？

次のような補助線を考えた，

そんなお子さんいないですか？

小数派だと思う。

難しいけど，解けます。

しかも，けっこう力が付きますよ。

中堅どころ，それ以上の中学受験なら

小5のうちに知っておきたい

必須テクニックを学べます。

補助線をひいたら，

色付きの三角形に注目する。

相似な三角形だ。

長さの比は３：５だ。

ＡＨの長さを調べよう。

３：５だから，

ＡＨは３ｃｍと出てくる。

そもそも直角二等辺三角形の組

だからね。

このとき，辺の長さの比である

ＨＦ：ＦＣ＝３：５

をメモしておこう。

あとで使います。

次に，こちらの

２つの色付き三角形に注目する。

相似な三角形だ。

長さの比は７：５です。

この２つの相似な三角形だけ

取り出すと，こうです。

辺の長さの比は

ＨＧ：ＧＣ＝７：５

です。

そういえば，

ＨＦ：ＦＣ＝３：５

でしたね。

これら２つの情報を合わせると

こうなります。

ＨＦ：ＦＣ＝３：５

と

ＨＧ：ＧＣ＝７：５

この２つの比から，

どうやってＦＧ：ＧＣを

求めるのか。

ここからが

上級テクニック。

比の数を合わせる

次のように考えます。

ＨＦ：ＦＣ＝３：５　

比の数自体は３＋５で合計８。

ＨＧ：ＧＣ＝７：５

比の数自体は７＋５で合計１２。

この８と１２を合わせることを

考える。

具体的には，

８と１２の最小公倍数でそろえる。

比というのは，

同じ数同士でかけたり，

わったりができますよね。

それを使います。

ＨＦ：ＦＣ＝３：５

ＨＧ：ＧＣ＝７：５

の比の数の合計である，

８と１２の最小公倍数は２４。

２４に合わせる。

ＨＦ：ＦＣ＝３×３：５×３

ＨＦ：ＦＣ＝９：１５

９＋１５で２４。

ＨＧ：ＧＣ＝７×２：５×２

ＨＧ：ＧＣ＝１４：１０

１４＋１０で２４に合わせた。

これらの数値に

書き換えたのが次の図だ。

数は大きくなってしまったが，

実は，これでお互いの

比の計算ができるようになる。

ＦＧは，１４－９＝５

ＦＧ：ＧＣ＝５：１０で

１：２と出せる。

おわりに

他にも細かく見ていけば，

解き方はあるもしれない。

だけど，

一般的な解説では

解き方は大体1種類しか

載っていない。

お子さんが悩んだり

わからなかったり。

苦労したその解き方は

解説通りじゃないかもしれない。

でも，それは，

お子さんが主体的に解いた証拠だ。

それを一般的な解説通りに

修正してしまうのはもったいない。

まわりくどい解き方でも

お子さんにとっては一番わかりやすい

解き方なのかもしれないのだ。

しかもオリジナル。

大切なことは，お子さんが

過程をすべて体験した上での

結末を知ることだ。

端折って答えを見たら台無しだ。

映画のネタバレを先に知っては

つまらないだろう。

結末がバッドエンドでもいいのだ。

過程をひと通り体験さえすれば，

たとえば

最後を視聴者に自由に想像させる

映画だって多いはずだ。

過程がすべてお子さん主体であれば

お子さんはお子さんだけの結末を

結べるのだ。

そうすれば，次のチャレンジも

きっとおもしろくなる。

私は，失敗も成功も

試行錯誤を楽しめるお子さんが

増えることを願っています。

保護者の方へ。

ここまで読んでいただき

ありがとうございます。

私の思いは保護者さまへ伝わった

のではないかと思います。

ぜひ，公式ラインアカウントから

ご感想いただけないでしょうか。

私がサポートをしたいのは，

お子さんではありません。

保護者さま，あなたです。

＼お子さんへの対応もするけども☆／

お子さんと保護者さまが

過程を共有できる学習を。

保護者さまのサポートを

私にさせてください。

それが当塾アスミラです。